Zufallsexperimente · Modul 1 / 8
Vierfeldertafel & Bedingungen
Beispiel: A = „kommt mit dem Fahrrad“, B = „wohnt höchstens 3 km entfernt“. Verändere die absoluten Häufigkeiten und untersuche die Bezugsgruppen.
| B | B̄ | Summe | |
|---|---|---|---|
| A | 30 | 10 | 40 |
| Ā | 20 | 40 | 60 |
| Summe | 50 | 50 | 100 |
Unabhängigkeit: A und B sind im Modell dieser Tafel abhängig: P(A ∩ B) ≠ P(A) · P(B). Bei Stichprobendaten beschreibt das zunächst die beobachteten Häufigkeiten.
Dieselbe Situation als Baumdiagramm
↳ A: 60 % → P(A ∩ B) = 30 %
↳ Ā: 40 % → P(Ā ∩ B) = 20 %
↳ A: 20 % → P(A ∩ B̄) = 10 %
↳ Ā: 80 % → P(Ā ∩ B̄) = 40 %
Pfadregel: entlang eines Pfades multiplizieren; Wahrscheinlichkeiten disjunkter Pfade addieren.
Erkunden und üben
Halte zunächst deine Vermutung oder deinen Ansatz fest. Öffne danach bei Bedarf den Hinweis und schließlich den Erwartungshorizont. Übungsaufgaben verwenden eigene, ausdrücklich genannte Daten.
Forscherauftrag 1 · Erläutern
Erläutere an der Tafel den Unterschied zwischen und .
Hinweis
Markiere jeweils die Bezugsgruppe.
Lösung / Erwartungshorizont
Die Schnittmenge ist gleich, die Nenner sind im Allgemeinen verschieden: , aber .
Forscherauftrag 2 · Untersuchen
Untersuche durch Verändern der Häufigkeiten, ob gleich große Randhäufigkeiten schon Unabhängigkeit garantieren.
Hinweis
Wähle 40, 10, 10, 40 als die vier inneren Häufigkeiten.
Lösung / Erwartungshorizont
Nein. In der genannten Tafel sind beide Randsummen 50 von 100, aber P(A ∩ B) = 0,4 und P(A) · P(B) = 0,25. Die Ereignisse sind abhängig.
Forscherauftrag 3 · Begründen
Begründe, warum man die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades multipliziert und die Wahrscheinlichkeiten disjunkter Pfade addiert.
Hinweis
Betrachte zuerst den Weg über B und dann über dessen Gegenereignis.
Lösung / Erwartungshorizont
Nach Definition ist . Die Wege über B und über das Gegenereignis sind disjunkt und umfassen gemeinsam A. Daher werden ihre Wahrscheinlichkeiten addiert.
Forscherauftrag 4 · Beurteilen
Beurteile: „Eine leere Bezugsgruppe hat eine bedingte Wahrscheinlichkeit von 0.“
Hinweis
Was passiert mit dem Nenner?
Lösung / Erwartungshorizont
Die Aussage ist falsch. Bei einer Bezugsgruppe der Wahrscheinlichkeit 0 ist die bedingte Wahrscheinlichkeit durch die hier verwendete Quotientenformel nicht definiert.