Funktionsscharen-Labor

Grad 3 · f_a(x) = x³ − 3ax + 2

Definitionsbereich: ℝ für jedes a ∈ ℝ. Bei der Ableitung nach x gilt a als Konstante.

1. Ableitungen, Symmetrie und Verhalten im Unendlichen

f_a′(x) = 3x² − 3a, f_a″(x) = 6x und f_a‴(x) = 6.

Es gilt f_a(−x) + f_a(x) = 4. Der um 2 nach unten verschobene Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Damit hat der Schargraph das Symmetriezentrum (0 | 2). Der führende Term x³ bestimmt das Verhalten im Unendlichen. Für x → −∞ gilt f_a(x) → −∞, für x → +∞ gilt f_a(x) → +∞.

2. Extrempunkte und Monotonie

Aus f_a′(x) = 0 folgt x² = a.

• a < 0. Die erste Ableitung ist überall positiv. Der Graph steigt streng monoton und hat keine Extrempunkte.
• a = 0. Die erste Ableitung ist nur bei x = 0 gleich null und links wie rechts davon positiv. Der Graph steigt weiterhin streng monoton. Es gibt keinen Extrempunkt.
• a > 0. Bei x = −√a ist die zweite Ableitung negativ, bei x = √a positiv. Einsetzen liefert H(−√a | 2 + 2a√a) und T(√a | 2 − 2a√a). Der Graph steigt bis H, fällt bis T und steigt danach wieder.

3. Wendepunkt

f_a″(x) = 0 liefert x = 0. Dort wechselt f_a″ von negativ zu positiv, also ist W(0 | 2) für jedes a ein Wendepunkt. Die Steigung beträgt −3a. Genau bei a = 0 liegt ein stationärer Wendepunkt vor.

4. Nullstellen

• a ≤ 0. Aus strenger Monotonie und dem Verhalten im Unendlichen folgt genau eine reelle Nullstelle. Sie liegt links von 0, denn f_a(0) = 2.
• 0 < a < 1. Hoch- und Tiefpunkt liegen oberhalb der x-Achse. Nur der erste steigende Ast schneidet die Achse.
• a = 1. Der Tiefpunkt berührt die x-Achse. Die Faktorisierung f₁(x) = (x − 1)²(x + 2) liefert x = −2 (einfach) und x = 1 (doppelt).
• a > 1. Der Hochpunkt liegt oberhalb, der Tiefpunkt unterhalb der x-Achse. Auf jedem monotonen Ast liegt genau eine einfache Nullstelle. Ihre x-Werte liegen in (−∞, −√a), (0, √a) und (√a, +∞).

5. Tangente bei x = 1

Der Berührpunkt ist B(1 | 3 − 3a), die Steigung beträgt f_a′(1) = 3 − 3a. Daraus folgt t_a(x) = (3 − 3a)(x − 1) + 3 − 3a = (3 − 3a)x. Alle Tangenten dieser Familie verlaufen durch den Ursprung.

6. Gemeinsamer Punkt und Ortskurve

Für zwei verschiedene Parameter a und b gilt f_a(x) − f_b(x) = −3(a − b)x. Der Ausdruck verschwindet genau für x = 0. Mit f_a(0) = 2 ergibt sich der einzige gemeinsame Punkt (0 | 2).

Für die Extrempunkte gilt a = x² mit x ≠ 0. Einsetzen in den Scharterm ergibt y = x³ − 3x³ + 2 = 2 − 2x³. Umgekehrt ist für jedes x ≠ 0 der Parameter x² positiv und liefert dort einen Extrempunkt. Der linke Ast enthält die Hochpunkte, der rechte die Tiefpunkte. Bei x = 0 liegt der stationäre Wendepunkt der Funktion mit a = 0.

Grad 4 · g_a(x) = x⁴ − 2ax² + 1

Definitionsbereich: ℝ für jedes a ∈ ℝ. Bei der Ableitung nach x gilt a als Konstante.

1. Ableitungen, Symmetrie und Verhalten im Unendlichen

g_a′(x) = 4x(x² − a), g_a″(x) = 12x² − 4a und g_a‴(x) = 24x.

Wegen g_a(−x) = g_a(x) sind alle Graphen achsensymmetrisch zur y-Achse. Der führende Term x⁴ ist für große Beträge von x positiv und dominiert die anderen Summanden. Für x → −∞ und für x → +∞ gilt daher g_a(x) → +∞.

2. Extrempunkte und Monotonie

Aus g_a′(x) = 0 folgt x = 0 oder x² = a.

• a < 0. Es gibt nur die stationäre Stelle x = 0. Wegen g_a″(0) = −4a > 0 liegt dort der Tiefpunkt T(0 | 1).
• a = 0. g₀″(0) = 0. Die erste Ableitung 4x³ wechselt bei x = 0 von negativ zu positiv. Damit liegt weiterhin ein Tiefpunkt T(0 | 1) vor.
• a > 0. Wegen g_a″(0) = −4a < 0 liegt H(0 | 1) vor. Bei x = ±√a ergibt die zweite Ableitung 8a > 0. Einsetzen liefert die beiden Tiefpunkte T₁(−√a | 1 − a²) und T₂(√a | 1 − a²).

Für a ≤ 0 fällt der Graph bis zum Tiefpunkt und steigt danach. Für a > 0 sind die Vorzeichen von g_a′ in den vier Intervallen zwischen den Extremstellen von links nach rechts −, +, −, +.

3. Wendepunkte

Aus g_a″(x) = 0 folgt x² = a/3. Für a < 0 gibt es keine reelle Lösung. Für a = 0 ist x = 0 zwar eine Nullstelle der zweiten Ableitung, aber 12x² ist auf beiden Seiten positiv. Für a > 0 wechselt g_a″ bei x = ±√(a/3) jeweils das Vorzeichen. Einsetzen ergibt bei beiden y = (a/3)² − 2a·(a/3) + 1 = 1 − 5a²/9. Damit liegen die Wendepunkte bei W₁(−√(a/3) | 1 − 5a²/9) und W₂(√(a/3) | 1 − 5a²/9).

4. Nullstellen mit der pq-Formel

Substituiere u = x² mit u ≥ 0. Die Gleichung lautet u² − 2au + 1 = 0. Mit der pq-Formel erhältst du u₁,₂ = a ± √(a² − 1), sofern a² − 1 ≥ 0.

• a ≤ −1. Beide u-Werte sind negativ, da √(a² − 1) < |a|. Es gibt keine reellen Nullstellen.
• −1 < a < 1. Die Diskriminante ist negativ. Es gibt keine reellen Nullstellen.
• a = 1. Es gilt u = 1. Aus g₁(x) = (x² − 1)² folgen zwei doppelte Nullstellen bei x = ±1.
• a > 1. Beide u-Werte sind positiv und verschieden. Die Rücksubstitution liefert vier einfache Nullstellen: x = ±√(a + √(a² − 1)) und x = ±√(a − √(a² − 1)).

5. Tangente bei x = 1

Der Berührpunkt ist B(1 | 2 − 2a), die Steigung beträgt g_a′(1) = 4 − 4a. Daher gilt t_a(x) = (4 − 4a)(x − 1) + 2 − 2a = (4 − 4a)(x − ½). Alle Tangenten dieser Familie verlaufen durch (½ | 0).

6. Gemeinsamer Punkt und Ortskurve

Für zwei verschiedene Parameter a und b gilt g_a(x) − g_b(x) = −2(a − b)x². Der Ausdruck verschwindet genau für x = 0. Mit g_a(0) = 1 ergibt sich der einzige gemeinsame Punkt (0 | 1).

Für seitliche Tiefpunkte gilt a = x² und x ≠ 0. Einsetzen ergibt y = x⁴ − 2x⁴ + 1 = 1 − x⁴. Für jedes x ≠ 0 ist a = x² positiv und liefert dort tatsächlich einen Tiefpunkt. Das Ortsbild aller Extrempunkte umfasst zusätzlich (0 | 1). Dieser Punkt ist für a ≤ 0 ein Tiefpunkt und für a > 0 ein Hochpunkt.

Kurvendiskussion · f_a(x) = 1/(3a) · x³ − x²

Definitionsbereich, Nullstellen und Achsenabschnitt

a ∈ ℝ mit a ≠ 0. Für jedes zulässige a gilt D = ℝ. Aus x²·(x/(3a) − 1) = 0 folgen die doppelte Nullstelle x = 0 und die einfache Nullstelle x = 3a. Der y-Achsenabschnitt ist (0 | 0).

Symmetrie und Verhalten im Unendlichen

Wegen des geraden und des ungeraden Summanden gilt weder f_a(−x) = f_a(x) noch f_a(−x) = −f_a(x) für alle x. Verschiebt man den Ursprung in den Wendepunkt, erhält man f_a(a+u) − f_a(a) = u³/(3a) − au. Dieser Term ist ungerade in u. Der ursprüngliche Graph ist somit punktsymmetrisch zu W(a | −2a²/3). Für a > 0 geht der Graph links nach −∞ und rechts nach +∞. Für a < 0 kehren sich die beiden Grenzwerte wegen des negativen Leitkoeffizienten um.

Ableitungen und Extrempunkte

f_a′(x) = x²/a − 2x, f_a″(x) = 2x/a − 2 und f_a‴(x) = 2/a. Aus f_a′(x) = x(x/a − 2) = 0 folgen x = 0 und x = 2a. Die zweite Ableitung liefert f_a″(0) = −2 und f_a″(2a) = 2. Einsetzen ergibt H(0 | 0) und T(2a | −4a²/3). Für a > 0 ist die Funktion auf den drei Intervallen von links nach rechts steigend, fallend, steigend. Für a < 0 liegt T links von H und die Reihenfolge lautet fallend, steigend, fallend.

Wendepunkt und Wendetangente

f_a″(x) = 0 ergibt x = a. Wegen f_a‴(a) = 2/a ≠ 0 liegt dort ein Wendepunkt. Einsetzen führt zu W(a | −2a²/3). Die Steigung ist f_a′(a) = −a. Damit lautet die Wendetangente y = −a(x − a) − 2a²/3 = −ax + a²/3.

Gemeinsamer Punkt und Ortskurven

Für a₁ ≠ a₂ verschwindet die Differenz (1/(3a₁) − 1/(3a₂))x³ nur bei x = 0. Der einzige gemeinsame Punkt ist (0 | 0). Für T liefert x = 2a die Ortskurve y = −x²/3. Für W liefert x = a die Ortskurve y = −2x²/3. In beiden Fällen entfällt x = 0, weil a ≠ 0 gilt. Die Hochpunkte bilden den einzelnen Punkt (0 | 0).

Parameter t · f_t(x) = x³ − 12t²x

Definitionsbereich, Achsenabschnitte und Symmetrie

Für jedes t ∈ ℝ gilt D = ℝ. Aus f_t(x) = x(x² − 12t²) folgen x = 0 und x = ±2√3·|t|. Für t ≠ 0 gibt es drei einfache Nullstellen. Für t = 0 bleibt die dreifache Nullstelle x = 0. Der Graph schneidet die y-Achse bei (0 | 0). Alle Graphen sind punktsymmetrisch zum Ursprung, da f_t(−x) = −f_t(x) gilt. Wegen x³ gehen sie links nach −∞ und rechts nach +∞.

Ableitungen und Extrempunkte

f_t′(x) = 3x² − 12t², f_t″(x) = 6x, f_t‴(x) = 6. Aus f_t′(x) = 0 folgen x = ±2t. Für t ≠ 0 ergeben sich die Punkte (2t | −16t³) und (−2t | 16t³). Wegen f_t″(2t) = 12t ist der erste für t > 0 ein Tiefpunkt und für t < 0 ein Hochpunkt. Der zweite ist jeweils der andere Extrempunkt. Der Graph steigt links der negativen Extremstelle, fällt zwischen den Extremstellen und steigt rechts der positiven Extremstelle. Bei t = 0 ist die Funktion streng steigend und hat keine Extrempunkte.

Wendepunkt und Wendetangente

Bei x = 0 gilt f_t″(0) = 0 und f_t‴(0) = 6. Deshalb ist W(0 | 0) stets ein Wendepunkt. Die Wendetangente y = −12t²x ist genau für t = 0 waagerecht.

Ortskurve und Vergleich der Graphen

Setze t = x/2 in y = −16t³ ein. So folgt y = −2x³. Mit t = −x/2 und y = 16t³ entsteht dieselbe Gleichung. Für x < 0 liegen die Hochpunkte, für x > 0 die Tiefpunkte. Der Ursprung gehört nicht dazu, denn t = 0 liefert dort einen stationären Wendepunkt.

Für t = 0,5 liegen die äußeren Nullstellen bei ±√3, die Extrempunkte bei (−1 | 2) und (1 | −2). Für t = 1 liegen die äußeren Nullstellen bei ±2√3 und die Extrempunkte bei (−2 | 16) und (2 | −16). Beide Graphen teilen W(0 | 0). Allgemein liefern t und −t denselben Graphen. Zwei Graphen mit unterschiedlichen t² haben wegen der Differenz −12(t₁² − t₂²)x nur den Ursprung gemeinsam.

Gemeinsame Nullstellen · f_a(x) = x³ − ax² − x + a

Definitionsbereich, Nullstellen und gemeinsame Punkte

Für jedes a ∈ ℝ gilt D = ℝ. Mit f_a(x) = (x² − 1)(x − a) folgen x = −1, x = 1 und x = a. Bei a = ±1 ist die zusammenfallende Nullstelle doppelt. Der y-Achsenabschnitt lautet (0 | a). Für a₁ ≠ a₂ hat die Differenz (a₁ − a₂)(1 − x²) nur bei x = ±1 den Wert 0. Einsetzen liefert genau die beiden gemeinsamen Punkte (−1 | 0) und (1 | 0).

Ableitungen, Extrema und Wendepunkt

f_a′(x) = 3x² − 2ax − 1, f_a″(x) = 6x − 2a und f_a‴(x) = 6. Mit der pq-Formel ergeben sich die Extremstellen x₋ = (a − √(a² + 3))/3 und x₊ = (a + √(a² + 3))/3. f_a″(x₋) ist negativ, f_a″(x₊) positiv. Die y-Koordinaten erhält man aus (x₋² − 1)(x₋ − a) bzw. (x₊² − 1)(x₊ − a).

Aus f_a″(x) = 0 folgt x = a/3. Einsetzen ergibt W(a/3 | −2a³/27 + 2a/3), und f_a‴(a/3) ≠ 0 bestätigt den Wendepunkt. Die Ortskurve entsteht durch a = 3x und lautet y = −2x³ + 2x. Mit m = −a²/3 − 1 und b = y_W − m·x_W = a³/27 + a erhält man die Wendetangente y = (−a²/3 − 1)x + a³/27 + a.

Symmetrie und Verhalten im Unendlichen

Der verschobene Term f_a(a/3+u) − f_a(a/3) = u³ − (a²/3 + 1)u ist ungerade. Jeder Graph ist zu seinem Wendepunkt punktsymmetrisch. Für a = 0 liegt dieser im Ursprung. Der führende Term x³ bestimmt den Verlauf von −∞ nach +∞.

Steckbrief und Extremwert

Aus P(2 | 3) folgt 3 = (2² − 1)(2 − a), also a = 1. Der Punkt (1 | 0) erfüllt den Term für jedes a. Für f₀ auf [−1; 1] vergleicht man die Randwerte 0 und die Werte an den kritischen Stellen ±1/√3. Es ergibt sich das Maximum 2/(3√3) bei x = −1/√3.

Ortskurve und Wendetangente · f_a(x) = −x³ + ax² − x − ax

Definitionsbereich, Achsenabschnitte und gemeinsame Punkte

Für alle a ∈ ℝ gilt D = ℝ. Aus f_a(x) = −x·(x² − ax + 1 + a) folgt die feste Nullstelle x = 0. Der y-Achsenabschnitt ist (0 | 0). Die pq-Formel liefert als mögliche weitere Nullstellen x = (a ± √(a² − 4a − 4))/2. Bei negativem Radikanden bleibt nur x = 0. Der Radikand verschwindet für a = 2 ± 2√2, dort ist x = a/2 doppelt. Bei a = −1 ist der Radikand positiv, aber eine der beiden Lösungen fällt mit x = 0 zusammen. Dann ist x = 0 doppelt und x = −1 einfach. Sonst sind bei positivem Radikanden alle drei Nullstellen einfach.

Die Differenz zweier Terme ist (a₁ − a₂)x(x − 1). Für a₁ ≠ a₂ folgt x = 0 oder x = 1. Die gemeinsamen Punkte sind (0 | 0) und (1 | −2).

Ableitungen und Extrempunkte

f_a′(x) = −3x² + 2ax − 1 − a, f_a″(x) = −6x + 2a und f_a‴(x) = −6. Für f_a′(x) = 0 ergibt die pq-Formel x₋,₊ = (a ± √(a² − 3a − 3))/3. Für einen positiven Radikanden ist x₋ die Tiefstelle und x₊ die Hochstelle, denn dort hat f_a″ die Werte +2√(a² − 3a − 3) bzw. −2√(a² − 3a − 3). Die y-Werte ergeben sich jeweils durch Einsetzen in −x·(x² − ax + 1 + a). Ist der Radikand negativ, fällt der Graph strikt. Ist er null, berührt die Ableitung bei x = a/3 die x-Achse ohne Vorzeichenwechsel. Dort liegt ein stationärer Wendepunkt vor.

Wendepunkt und Ortskurve

Aus f_a″(x) = 0 folgt x = a/3. Wegen f_a‴(a/3) = −6 ≠ 0 ist dies eine Wendestelle. Einsetzen ergibt y_W = 2a³/27 − a²/3 − a/3. Löse x = a/3 nach a auf und setze a = 3x in y_W ein. So erhältst du y = 2x³ − 3x² − x für alle x ∈ ℝ.

Wendetangente

Die Steigung ist m = f_a′(a/3) = a²/3 − a − 1. Einsetzen von W in y = mx + b liefert b = y_W − m·(a/3) = −a³/27. Die Gleichung lautet y = (a²/3 − a − 1)x − a³/27. Die pq-Formel liefert a = (3 ± √21)/2 für eine waagerechte Tangente.

Symmetrie und Verhalten im Unendlichen

f_a(a/3+u) − f_a(a/3) = −u³ + (a²/3 − a − 1)u ist ungerade in u. Der Wendepunkt ist also das Symmetriezentrum. Bei a = 0 ist es der Ursprung. Der führende Term −x³ bestimmt den Verlauf von +∞ nach −∞.